矩阵的特征值和特征向量(一)
特征值和特征向量的定义：矩阵A是n阶方阵，存在数
和非零列向量
，使A=。则称为特征值，对应于成为特征向量。注意：可以为0 特征向量不能为0
由上面的公式A=继续推解：
-A= 0
(-A)= 0
∵单位矩阵E=1且数值不能和方阵相运算，因此特征值×单位矩阵
∴(E-A)= 0
∵为非零的列向量
∴ |E-A | = 0
|E-A |称做特征值、特征根
|E-A | = 0称作特征方程
结论：
(1)是A的特征值，是对应的特征向量，则 c也是的特征向量
证明：A= cA= c A(c) = (c)
即c也是的特征向量
(2)特征值可以对应多个特征向量，但特征向量只能对应一个特征值
证明：用反推法证明，假设(≠ 0)是
(
)的特征向量，
A=
A=
则 =
(-)= 0 ∵是非零列向量 ∴ -= 0
又∵ ∴(-)= 0矛盾 即(≠ 0)是()的特征向量不成立。反推出特征值可以对应多个特征向量，但特征向量只能对应一个特征值
(3) 
，
是
的特征向量，则 
+
是的特征向量
证明：A(+) = 
+
=
+
=
(+)
即+是的特征向量
矩阵的特征向量与特征值(二)
看下图求特征值的例子：
A的特征值求解
根据上图的求解，总结下求解的思路和过程：
(1)对E-A= 0进行运算，得一矩阵
(2)尽可能将某行/列转化为零，按行展开
(3)若行/列可提公因子，提公因子(含)
(4)充分运用相反数、相同数、行和/列和相同的特殊形式
如上图提取某行元素，该元素所在列除该元素外其余数均为0
(5)运用对角线乘积(适用于上三角矩阵、下三角矩阵)，某行元素*该元素的代数余子式(适用于所有矩阵)等方式求矩阵
(6)求出解时要注意：线性代数中重根也要写
再看下图示例，可推出两条结论：
(1)只在主对角线存在
(2) A所有元素都取相反数
矩阵运算示例
看下图的例子，已知矩阵A，求矩阵A的特征值和对应的特征向量
、
该题的求解用到了行简化阶梯形、上三角形矩阵、初等行变换、齐次线性方程组求解等知识点。该题看宋浩老师的视频讲解花了五六分钟，在下面演算求解时用了五个多小时，经过多次演算终于接近正确值。难点就在的求解，比较繁琐的运算是在运用齐次线性方程组求解特征值和特征向量这块
求解矩阵的特征值和特征值对应的特征向量
n阶对角形矩阵的特征值就是它主对角线上对应的特征元素
n阶对角形矩阵的特征值就是它主对角线上对应的特征元素
特征向量可以取多个，特征向量不能等于0
特征向量基础解系取值时，有可能左边没有一个未知量：∵参照行简化阶梯形，首非零元是1的未知量放左边，其余在右边的都是自由未知量
取基础解析做特征向量的同解
看下图感受一下上面说的三点结论：
未知量全在右边，都是自由未知量
特征值、特征向量的基本性质
(1) A和
有相同的特征值
矩阵和矩阵的转置有相同的特征值
注意：特征值相等，但是特征向量不一定相等
（2）若方阵A有n个特征值
，则①
②
= |A|
和= |A|证明很繁琐难懂，再证明这两个公式之前，先证明两个引例，加深理解
引例1：设
的根为1，2，3，则(x-1)(x-2)(x-3)=0
引例2：
=
看下图对和= |A|详细的证明：
由上图证明求解可知：
①方阵A的主对角线上的元素相加叫迹，用tr(A)表示
②若= |A|中
有一个常量等于0则A不可逆；若中所有常量都不等于0，则A可逆
回忆一下方阵可逆的条件有哪些：A≠0；r(A)=行秩=列秩=满秩；Ax=0只有零解
（3）互不相同的特征值
对应的特征向量
线性无关
不同特征值对应的特征向量线性无关
（4）方阵A的特征值都相异，则特征值之间、特征值对应的特征向量都线性无关
注：互不相同且均不为零的数就叫互为相异数
（5）K重特征根对应的线性无关的特征向量的个数≤k
（6）
是A的特征值，
则k是kA的特征值
证明：∵ A
=
∴ (3A) = (3)
是
的特征值
证明：∵ A=
∴ A A = A =
∴
看一个例题：2是A的特征值，求
的特征值
利用特征值的性质求解特征值
看上图大的例题解析有些繁琐，有没有快速求解的方法呢？看下图：
特征值快速求解
继续例题分析：是A的特征值，则
是
的特征值，
是
的特征值
补充一个公式：
，看一个和
相关的求解例题
已知：A是四阶方阵， |3E+A|=0 
|A|≤0 求的一个特征值
简要分析：求的特征值，首先要求A和,求用到了公式A=；求A用；求的特征值用到了是的特征值。看下图详细求解
如若用、= |A|求解比较繁琐，有没有其他方法进行求解呢？看下图求解示例：
当特征值为 -4， -1 -1时，根据得 tr(A) = (-4)+(-1)+(-1) = -6
根据 = |A| 得 |A| = (-4)*(-1)*(-1) = -4
再看几个是A的特征值，则
,
的例子：
